Problema 2
Două puncte M_1 și M_2 pornesc simultan în mișcare uniformă cu vitezele v_1 și v_2 ( v_1 > v_2 ) în sensul pozitiv al axei 0x , din originea acesteia. Să se afle timpul după care distanța dintre cele două puncte se vede sub un unghi maxim dintr-un punct M_3 aflat pe axa 0y la distanța d . Ce valoare are acest unghi în momentul cerut (vezi figura)?
Încercați să rezolvați problema singuri. Dacă nu reușiți puteți găsi una dintre soluții în continuare.
Soluție
Notăm următoarele unghiuri:
O M_3 M_1^\prime = \alpha;\quad O M_3 M_2^\prime = \beta\;\quad M_1^\prime M_2 M_2^\prime = \varphi,
unde M_1^\prime și M_2^\prime sînt pozițiile celor două mobile în momentul t cerut.
Avem
OM_1^\prime = v_1 t;\quad OM_2^\prime = v_2 t.
Se observă că
\tan{\alpha} = \frac{v_1 t}{d};\quad \tan{\beta} = \frac{v_2 t}{d}.
Deoarece \varphi = \alpha - \beta, avem
\tan{\varphi} = \frac{\tan{\alpha} - \tan{\beta}}{1 + \tan{\alpha}\tan{\beta}} = \frac{\mathrm{d}t(v_1 - v_2)}{d_2 + v_1v_2t^2}.
Se derivează funcția trigonometrică în raport cu timpul și se obține:
\frac{\mathrm{d}(\tan{\varphi})}{\mathrm{d}t} = \frac{d^3v_1 + dv_1^2v_2t^2 - d^3v_2 - dv_1v_2^2t^2 - 2v_1^2v_2dt^2 + 2v_1v_2^2dt^2}{(d^2 + v_1v_2t^2)^2}.
Prin anularea derivatei se obține:
t_{max} = \frac{d\sqrt{v_1v_2}}{v_1v_2}.
Unghiul cerut de problemă are valoarea:
\varphi_{max} = \arctan{\frac{d(v_1 - v_2)t_{max}}{d^2 + v_1v_2t_{max}^2}}
sau
\varphi_{max} = \arctan{\frac{(v_1 - v_2)\sqrt{v_1v_2}}{2v_1v_2}}.