Problema 1
De pe un vas aflat la distanța d_1 km de țărm, trebuie trimis un mesaj la punctul de comandă aflat la distanța d_2 ( d_2 > d_1 ) (vezi figura). Curierul trimis folosește o barcă ce are viteza v_1 , iar pe uscat poate alerga cu viteza v_2 ( v_2 > v_1 ) . Mesajul trimis trebuie să ajungă la destinație în cel mai scurt timp. Să se determine traiectoria optimă aleasă de curier.
Încercați să rezolvați problema singuri. Dacă nu reușiți puteți găsi una dintre soluții în continuare.
Soluție
Fie ADC traiectoria urmată de curier ( BD = x ).
Timpul necesar călătoriei pe apă este:
t_1 = \frac{ AD }{ v_1 }sau
t_1 = \frac{ \sqrt{ d_1^2 + x^2 } }{ v_1 }.Timpul necesar călătoriei pe uscat este:
t_2 = \frac{ DC }{ v_2 }sau
t_2 = \frac{ d_2 - x }{ v_2 }.Timpul total necesar este:
t = t_1 + t_2 = \frac{ \sqrt{ d_1^2 + x^2 } }{ v_1 } + \frac{ d_2 - x }{ v_2 }.Derivata timpului în raport cu x este:
\frac{ \mathrm{d}t }{ \mathrm{d}x } = \frac{ 1 }{ v_1 } \cdot \frac{ x }{ \sqrt{ d_1^2 + x^2 } } - \frac{ 1 }{ v_2 }.Din anularea acestei derivate se obține următoarea relație:
\frac{ x^2 }{ v_1^2 ( d_1^2 + x^2 ) } = \frac{ 1 }{ v_2^2 }de unde rezultă distanța cerută:
x = \frac{ v_1 d_1 \sqrt{ v_2^2 - v_1^2 } }{ v_2^2 - v_1^2 }.Se poate arăta că pentru traiectoriile ABC sau direct AC este necesar un timp mai mare.